半角公式(Half-Angle Formulas)

分类:艺术频道 219赞 2020-06-20 569次浏览

一般说来,半角公式的推导常是透过倍角公式。由于

\(\cos 2\alpha= {\cos ^2}\alpha- {\sin ^2}\alpha= 2{\cos ^2}\alpha-1=1-2{\sin^2}\alpha\)

因此,

\({\sin^2}\alpha=\frac{{1 – \cos 2\alpha}}{2},{\cos^2}\alpha=\frac{{1+\cos 2\alpha}}{2}\)

令 \(\theta=2\alpha\Rightarrow \alpha=\frac{\theta}{2}\) 代入,即得

\(\sin \frac{\theta }{2} =\pm\sqrt {\frac{{1 -\cos\theta}}{2}} ,\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{{1 + \cos \theta}}{2}} \)

其中 \(\pm\) 依 \(\frac{\theta}{2}\) 所在的象限决定。至于倍角公式,则是由和角公式推得。
换言之,公式推导的顺序是和角公式→倍角公式→半角公式。

然而,当我们检视托勒密天文学集大成的着作《The Almagest》,他在为製作弦表所提出的一系列命题中,半角公式竟然比和角公式还要更早提出!一起来看看托勒密是如何证明。

如图一,给定半圆,\(\overline{AC}\) 为直径,\(D\) 为 \(BC\) 弧的中点。

从 \(D\) 点作 \(\overline{DE}\) 垂直 \(\overline{AC}\) 于点 \(E\),在 \(\overline{AC}\) 取点 \(F\),使得 \(\overline{AF}=\overline{AB}\),

连接 \(\overline{BD}\),\(\overline{CD}\) 及 \(\overline{DF}\)。

如果令 \(\angle BAC=\theta \),则 \(\overline{BD}\) 为 \(\theta\) 所对应的弦长,而 \(\overline{CD}\) 为 \(\frac{\theta}{2}\)所对应的弦长。

半角公式(Half-Angle Formulas)

图一

首先,\(\overline {CE}= \frac{1}{2}\overline {CF}= \frac{1}{2}(\overline {AC}- \overline{AF}) = \frac{1}{2}(\overline{AC}- \overline{AB})\),又 \(\Delta ACD\sim\Delta DCE\),

所以 \(\frac{{\overline {AC}}}{{\overline {CD}}} = \frac{{\overline {CD}}}{{\overline{CE}}} \Rightarrow {\overline {CD}^2} = \overline {AC}\times \overline{CE} \)。

若 \(\overline{AC},\overline{BC}\) 已知,由毕氏定理可得 \(\overline{AB}\),因而 \(\overline{CE}\) 可知,所以 \(\overline{CD}\) 可求。

进一步,如果令 \(\overline{AC}=1\) ,则 \(\overline{BD}=\sin \theta,\overline{AC}=\cos \theta\),

那幺 \({\sin ^2}\frac{\theta }{2} = {\overline {CD} ^2} = \frac{1}{2}(1 – \cos \theta ) \Rightarrow \sin \frac{\theta }{2} = \sqrt {\frac{{1 – \cos \theta }}{2}} \),

就是现在所熟知的半角公式。

事实上,我们也能利用另一个在高中课程中经常出现的问题来证明半角公式。

如图二,给定一直角三角形 \(ABC\),在 \(\overline{CB}\) 上延长取 \(\overline{BD}=\overline{AB}\),则 \(\angle ADC = \frac{1}{2}\angle ABC\)。

半角公式(Half-Angle Formulas)

若 \(\overline{AB}=1\),\(\angle ABC = \theta \),则 \(\overline {AC}= \sin \theta,\overline {BC}= \cos \theta\),

且 \(\begin{array}{ll}\overline {AD}&= \sqrt {{{\sin }^2}\theta+ {{(1 +\cos\theta )}^2}}\\&=\sqrt {{{\sin}^2}\theta+ {{\cos}^2}\theta+ 2\cos\theta+ 1} =\sqrt {2(1 +\cos\theta)}\end{array}\)

因此 \(\sin \frac{\theta }{2} = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AD} }} = \frac{{\sin \theta }}{{\sqrt {2(1 + \cos \theta )} }} = \frac{{\sqrt {1 – {{\cos }^2}\theta } }}{{\sqrt {2(1+\cos\theta)} }} = \sqrt {\frac{{1 -\cos\theta}}{2}} \)

\(\cos \frac{\theta }{2} = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {AD} }} = \frac{{1 + \cos \theta }}{{\sqrt {2(1 + \cos \theta )} }} = \sqrt {\frac{{1 + \cos \theta }}{2}} \)

换言之,半角公式的证明,除了代数的方法外,亦可运用几何的方式,有兴趣的读者,不妨自己尝试看看。